Управление производством

Управление в условиях ограниченных ресурсов

Татьяна Заикина, специалист корпоративного университета ФГУП «ЦАГИ». Олег Муратов, к.т.н., руководитель корпоративного университета ФГУП «ЦАГИ»
15 апреля 2013

В каждой фирме, занимающейся бизнесом сталкиваются с проблемой ограниченности своих ресурсов, что не позволяет работать лучше, чем хотелось бы. Ограничены могут быть рабочая сила, сырье, материалы, денежные средства и т.д. Не является исключением здесь и производственные фирмы, у которых кроме того могут быть ограничения по производственным мощностям, вследствие чего нет возможности обеспечить необходимое количество изделий и продавать столько, сколько хотелось бы. Поэтому для менеджеров важно уметь  принимать решения, которые обеспечивали бы использование ресурсов с максимальной отдачей. Оптимальные решения могут быть ключом к достижению фирмой конкурентных преимуществ, получению более высоких прибылей по сравнению с другими и процветанию бизнеса. Экономический эффект от рациональных методов управления и планирования способен в ряде случаев превысить эффект от существенного увеличения мощностей.

Для решения такого рода задач нужно применять методы линейного программирования. В настоящее время этот раздел прикладной математики широко развит и находит широкое применение в коммерческой деятельности, промышленности, сельском хозяйстве и т.д. Характерной чертой таких задач является большое число решений, удовлетворяющих их основным условиям. При этом широко используются ЭВМ, поскольку приходится иметь дело с большим количеством параметров, которые трудно обработать вручную. Чем сложнее технический уровень, организационная структура производства, тем труднее создать математическую модель изучаемого явления.

Формализация постановки организационных вопросов показывает, что решение задач управления и планирования, как правило сводится к выбору системы параметров управления, ограниченных некоторыми условиями и обращающих в минимум (или максимум) определенную функцию этих параметров - показатель качества управления. Полная математическая постановка задачи линейного программирования включает систему линейных уравнений и линейных неравенств, представляющих условия задачи и линейную форму, выражающую ее целевую установку. Записать это можно в следующем виде: требуется обратить в минимум линейную форму

с1 х+  сх+ ..+  c jх j  +  +  сn хn

при соблюдении следующих линейных ограничений:

x1 > 0,

х2 > 0,  

хj > 0,

хn> 0                          (1)

а11 х1 + а12 х+ …. +  1j xj + …. a1n xn  =  b1,

а21 х1 + а22 х2 +…. + а21 xj +…. a2n xn = b2,

……………………………………………..

аi1 х1 + аi2 х2 + ….+ аij xj + ….ain xn = bi,

……………………………………………..

аm1 х1 + аm2 х2 +….+ аimj xj +….amn xn = bm,

j = 1, 2….. n;   i = 1, 2…..m; аij  и   bi  и   ci  - постоянные .

Рассмотрим несколько примеров применения линейного программирования к практическим задачам организации бизнеса.

Планирование производства

Некоторая фирма планирует выпускать 7 видов продукции в количестве х1, х2, х3, х4, х5, x6 и х7 соответственно. Продажная цена с каждого вида продукции соответственно равна 12, 5, 2, 12, 9, 2 и 2 условных единиц, а затраты - 2, 3, 1, 3, 7, 1 и 1 единицы. Известно, что все виды выпускаются на одном и том же оборудовании, которое может эксплуатироваться максимум 8 единиц времени. Кроме этого известны затраты времени на производство 1 единицы каждого вида продукции: 7, 15, 9, 9, 1, 2, 1 единицы времени для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 видов соответственно. Все данные сведены в таблицу 1. Требуется ответить, какие виды продукции и в каком количестве следует производить, чтобы получить максимальную суммарную прибыль?

 Виды продукции, продажная цена, затраты, прибыль, затраты машинного времени на 1 единицу продукции

Математически задача записывается таким образом: максимизировать линейную форму V = 10х1 + 2х2 + x3 + 9х4 + 2х5 + x6 + x7 при условии

1 + 15х2 +  9хз + 9х4  + x5 + 2х6  + x7  =  8    (2)

На первый взгляд кажется, что следует выпускать тот вид продукции, который дает максимальную прибыль. В данном случае максимальная прибыль у 1-го вида продукции и равна 10 единиц. Поскольку затраты машинного времени у 1-го вида равны 7, то можно выпускать этот вид в количестве 8/7=1,14 и максимальная прибыль будет равна 10 * 1,14 = 11,4 единиц.

На самом деле это неверное решение, поскольку в нем не учтено граничное условие (2). Следует посчитать прибыль на единицу машинного времени по каждому виду и сделать вывод о выгодности производства того или иного вида. В данном случае прибыль на единицу машинного времени равна 10/7, 2/15, 1/9, 1, 2, 1/2 и 1 единиц соответственно. Таким образом наиболее выгодным является 5 вид, поскольку приносит прибыль в размере 2 единиц на единицу машинного времени. Максимальная прибыль в этом случае равна 16 единиц, что больше, чем при неверном расчете.

Если бы у нас было не одно ограничение, а несколько, то таким простым способом к ответу прийти нельзя, поскольку вычисления стали бы очень громоздкими. Тогда необходимо пользоваться вычислительными программами для компьютеров. Добавим в той же задаче к ограничению на машинное время (2) еще и ограничения на лимит материалов, из которых изготавливается продукция, и мы увидим, что оптимальное решение изменится. Пусть все 7 видов производятся из 2 видов материалов, запасы которых равны соответственно 5 и 6 условных единиц. Затраты каждого вида материала на единицу готового изделия даны в таблице 2. Определить в этом случае какие виды продукции и в каком количестве следует производить, чтобы получить максимальную суммарную прибыль?

Виды продукции, затраты 1 материала на единицу продукта, затраты 2 материала на единицу продукта

Решая задачу, используя  ЭВМ,  получаем оптимальное решение, которое говорит, что необходимо выпускать только изделия 4-го, 5-го и 6-го видов в количестве 0.5, 2.5 и 0.5 единиц соответственно. Только тогда мы получим максимальную прибыль, равную 10 условным единицам.

Кроме задач планирования выпуска различных видов продукции линейное программирование может с успехом использоваться в других областях бизнеса.

Планирование производства и хранения

Представим ситуацию с производителем сезонного товара, который должен распланировать по периодам выпуск этого продукта на год так, чтобы суммарные затраты были минимальны. График предполагаемого спроса на этот год изображен на рис.1. Фирма хочет ежеквартально удовлетворять потребности, определяемые этим графиком. Она может обеспечить ежеквартальный спрос, либо производя полностью требуемое количество в течение того же квартала, либо производя часть этого количества и покрывая разницу за счет перепроизводства в предыдущих кварталах с пониженным спросом. Первый путь связан с чрезмерными затратами в периоды повышенного спроса, второй - с затратами на хранение излишков на складах. Оптимальный график производства означает принятие промежуточного решения, заключенного между двумя крайними решениями, один из которых минимизирует излишки, а другой - колебания производства.

Кривая спроса

Разработаем теперь математическую модель этой задачи планирования производства. В начале первого квартала  фирма  имеет на складе определенное количество so продукта, оставшегося от предшествующего производства. Если в будущем предполагается производить продукт нового типа, то считаем so = 0. Пусть

хt - число единиц продукта, произведенного в течение t - го квартала,

rt - необходимое в t -м квартале количество единиц продукта, т.е. потребность,

st - число не использованных после t-го квартала единиц продукта, т.е. запас.

Для первого квартала производство x1 и предшествующий запас продукта so должны быть таковы, чтобы сумма их была более или равна потребности r1

x1  + s0 ≥  r1

Если соотношение выполняется как равенство, то запас после первого квартала должен быть равен нулю. Если имеет место неравенство, то s1 >0 и соотношение можно записать в виде.

x1  + s0 – s1 ≥  r1

Для второго квартала производство х2 и предшествующий запас s1 в сумме должны быть также более или равны потребностям второго квартала. Таким образом производство, запас и потребность в общем случае связаны соотношением

xt  + st-1 – st ≥  rt (3)

Предприниматель стремится свести к минимуму колебания графика выпуска и достичь гладкости процесса производства. Разность между любыми двумя последовательными квартальными выпусками продукции, скажем xt - xt-1 будет представлять соответствующее расширение или свертывание производства. Так как любое число может быть представлено в виде разности двух неотрицательных чисел, полагаем

xt  - xt-1 = yt - z(4)

где yt > 0 представляет расширение производства и zt > 0 - его свертывание. Сопоставляя (3) и (4) получаем основные уравнения этой модели

xt  + st-1 – st ≥  rt

xt  - xt-1 - yt + zt  = 0

здесь xt > 0, yt > 0,   st  > 0,   zt  > 0, и t =1,2,3,4. Если в конце года желательно свести к нулю окончательный излишек продукта, полагаем s4 = 0.

Из опыта прошлых лет фирме известно, какова стоимость расширения производства на одну единицу между (t-1) -м и t -м кварталами, а также стоимость хранения одной единицы в течение одного квартала. Пусть этими стоимостями будут соответственно а рублей и b рублей, причем а > 0, и b > 0. Фирме тогда желательно минимизировать

(5)                     

Сформулированную задачу линейного программирования можно решать  с  помощью  разработанных математических  методов.

 Оптимальное решение не может иметь для одного и того же квартала одновременно и        yt > 0 и zt > 0. Если а весьма мало, то соответствующим оптимальным решением будет график, связанный с наибольшими колебаниями производства и наименьшими запасами. Если b весьма мало, то соответствующим решением будет график, приводящий к наибольшим запасам и наименьшим колебаниям производства.

Следует отметить, что уже для 4 периодов времени, модель линейного программирования включает 8 уравнений с 16 неизвестными. Вычисления оптимального решения даже в данном случае трудно делать вручную, лучше для этого использовать ЭВМ.

В данном случае  часть уравнений и переменных может быть исключена. Из уравнения (3) имеем

xt =rt  + st - st-1

xt-1 = rt-1  + st-1 - st-2

Подставив эти выражения для  xt  и xt-1  в (4),  исключаем все xt  из первоначальной модели и получаем следующую систему уравнений:

уt - zt + 2s t-1  -  st - st-2 =  rt - rt-1 (6)

где t = l, 2, 3, 4 и  s-1 = r0 = 0,

Модель линейного программирования для задачи планирования производства и хранения теперь представлена уравнениями (6) и линейной формой (5). Здесь осталось 4 уравнения с 12 неизвестными. После решения укороченной задачи можно легко вернуться к исходным уравнениям и получить требуемый график производства, содержащий переменные xt.

В качестве примера решим задачу оптимального производства при следующих данных: стоимость расширения производства а = 2 условных единицы, стоимость хранения b = 1 условная единица, спрос задан графиком на рис. 1 (r1 = 10, r2 = 20, r3 = 10, r4 = 5). Задача будет выглядеть следующим образом:

Найти минимум линейной формы V = s1 + s2 + s3 + s4 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4  при соблюдении следующих условий:

-s1 + y1 - z1 = 10

2s1 - s2 + y2 - z2 = 10

-s1 + 2s2 - s3 + y– z3 = - 10

-s2 + 2s3 – s4 + y4 – z4 = - 5

Ответ получен на  ЭВМ  и   выглядит следующим образом: s1 = 5, y1 = 15, z3 = 5, z4 = 5, остальные параметры равны 0. График производства показан на рис. 2. Полученные значения ввиду простоты задачи легко объяснимы.

Кривая производства

Планирование перевозок

Рассмотрим задачу снабжения n пунктов потребления однородным продуктом из m пунктов производства или складирования. Эта задача известна  под названием транспортной задачи, которая также решается с помощью линейного программирования. Сущность транспортной задачи состоит в следующем.

Имеется m пунктов производства или складирования A1, А2, ... Am. Объем производства i - го пункта равен ai  единиц продукта. Весь произведенный продукт потребляется в n пунктах потребления В1, В2, ...,Вn. Объем потребления пункта Bj равен bj единиц продукта.

Требуется   организовать   снабжение  пунктов   Bj   (j = 1, 2,...,n)   из пунктов Aj (i = l, 2,...,m) так, чтобы суммарные транспортные издержки были минимальными. Предполагается, что могут быть организованы перевозки из любого пункта производства в любой пункт потребления, а транспортные издержки пропорциональны объему перевозки. План перевозок должен предусматривать удовлетворение потребностей всех пунктов спроса и не допускать затоваривания пунктов производства. При этом производство и потребление, естественно, предполагаются сбалансированными, т.е. суммарный объем производства совпадает с суммарным объемом потребления.

Формальное описание задачи требует следующих обозначений. Пусть xij - количество единиц продукта, подлежащих перевозке из i -го пункта производства в j -ый пункт потребления, а сij - расходы, связанные с перевозкой одной единицы продукта из Аi в Bj. Требуется выбрать такие значения переменных xjj, чтобы суммарные расходы на перевозку

обратились в минимум при условиях

   (7)

xij>0 (8)

Система  условий  (7)  означает, что из пункта производства Aj (i= l, 2, ..., m) вывозится   во все пункты потребления аj единиц продукта - величина, равная объему производства пункта Aj.

Также условия (7) означают, что в пункт потребления Bj (j=1, 2, ..,n) поставляется из всех пунктов производства bj единиц продукта - величина, равная объему потребления в пункте Bj.

Система неравенств (8) означает, что перевозки осуществляются только из пунктов производства в пункты потребления; обратных перевозок нет. Баланс производства и потребления записывается в виде

В качестве примера рассмотрим фирму, которая складирует (производит) свой продукт на трех (m = 3), принадлежащих ей складах и хочет развозить его по четырем своим магазинам (n = 4) для реализации. Стоимость перевозки единицы продукта из i-ro склада в j -ый магазин дана в таблице 3.

 Стоимость перевозки со складов в магазины

На складах сосредоточено а1 = 6, а2 = 8, а3 =10 единиц однородного продукта соответственно, и четыре пункта назначения (магазины) имеют потребность b1 = 4, b2 = 6, b3 = 8, b4 = 6 единиц. Таким образом общее суммарное потребление равно общему количеству поставок, равному 24.

Определить количество и схему перевозки продукта, чтобы суммарные затраты были минимальными?

В уравнениях задача выглядит следующим образом:

Минимизировать выражение

V = x11 + 2х12 + 3х13 + 4х14 + 4x21 + 3х22 + 2х23 + 2х32 + 2х33 + х34

при выполнении следующих уравнений

x11 + х12 + х13 + х14 = 6

x21 + х22 + х23 + х24 = 8

х31 + х32 + х33 + х34 = 10

x11 + х21 + х31 = 4

х12 + х22 + х32 = 6

х13 + х23 + x33 = 8

х14 + x24 + х34 = 6

Предсказать результат по интуиции не представляется возможным. Решение, полученное с помощью методов линейного программирования, показано в таблице 4. Из таблицы видно, что оптимальным будет вариант, когда в 1-ый магазин поставляется продукт только с 3-го склада в количестве 4 условных единиц, во 2-ой магазин завозится продукт только с 1-го склада в объеме 6 условных единиц, в 3-ий магазин завозится продукт одновременно со 2-го склада в количестве 2 единиц и с 3 склада в объеме 6 условных единиц и, наконец, в 4 магазин поставляется продукт со 2 склада в количестве 6 условных единиц. В этом случае значение линейной формы V = 28, т.е. при правильно организованных поставках фирма может сократить свои затраты только до 28 условных единиц но не меньше.

Количество требуемых к перевозке продуктов по магазинам

Аналогично  можно   выбрать  оптимальные  решения  для  логистического,  рекламного   бизнеса,  организации   транспортного  движения  и  других  сфер  деятельности.

Литература

  1. Кузнецов Ю.Н., Кузубов  В.И, Волощенко А.Б.  Математическое  программирование. М., 1980.